Подогреть молоко, чтобы было чуть теплое, всыпать сахар и дрожжи, влить немного растительного масла, присыпать мукой и поставить в теплое место на 15 мин. Затем добавить мацони и большую часть просеянной муки, вбить яйцо и начать месить. По мере необходимости добавлять муку. Положить растопленное и остуженное сливочное масло и соль. Продолжать месить 20 мин., время от времени наливая на руку растительное масло и обмазывая ком теста. Готовое тесто не должно прилипать к рукам. Скатать его в шар, присыпать мукой, накрыть полотенцем и поставить в теплое место на 2 ч. Вымесить и дать подойти еще раз, 1–1,5 ч. Для начинки натереть сыр, по желанию вбить 1–2 яйца и добавить размягченное сливочное масло. Готовое тесто разделить на порции, исходя из желаемого размера лепешек. Порцию теста скатать в шар и расплющить на рабочей поверхности, присыпанной мукой. Натертый сыр тоже разделить на порции так, чтобы на каждую лепешку пошло равное количество сыра. Слепить из сыра шар, положить в середину лепешки. Собрать края как котомку, скрепить в узел. Перевернуть лепешку швом вниз и раскатать скалкой в блин толщиной 1 см. Смазать хачапури сверху смесью желтка и сметаны, выложить на противень, смазанный маслом, наколоть вилкой в нескольких местах, а посередине проделать небольшую дырочку. Выпекать в разогретой до 180 °С духовке примерно 20–25 мин. Когда корочка станет румяной, выложить хачапури на доску и накрыть льняным полотенцем. Подавать через 10 мин., когда сыр схватится и не будет вытекать после разрезания.